Асимптоты графика функции

13. Асимптоты графика функции.


Пусть M(x, y) - точка графика функции y=f(x). Будем говорить, что точка M бесконечно удаляется в бесконечность по графику, если она движется по графику так, что либо x ® ± ¥, либо y ® ± ¥. При этом считаем, что функция определена в соответствующих множествах.

Определение 6. Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если при удалении точки M в бесконечность по графику, расстояние от M до этой прямой стремится к нулю (рис. 6а).

Вертикальная (горизонтальная) асимптота - это асимптота, параллельная оси Оу (соответственно Ох). Остальные асимптоты называются наклонными.
На рис. 6б и 6в прямые х = 2, х = 0 и х = -1 являются вертикальными асимптотами, прямая у = 1 - горизонтальной, прямая у = х+2 - наклонной.
Если x0 - точка бесконечного разрыва функции y = f(x), то прямая x = x0 является вертикальной асимптотой. Например, если
то точка графика при y ® -¥ бесконечно близко приближается к вертикальной асимптоте x = x0 с левой стороны (рис. 6в, x0=-1).
Вертикальная асимптота может быть в точке, являющейся границей области определения функции, если односторонний предел в этой точке равен +¥ или -¥ (рис. 6в).


Нахождение горизонтальных асимптот. Если
то прямая y = y0 является горизонтальной асимптотой при x ® +¥ (или -¥).

Нахождение наклонных асимптот. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b , где угловой коэффициент k ≠ 0. Коэффициенты k и b при x ® +¥ (-¥) находят по формулам:

Замечание 11. В формулах (7) подразумевается, что оба предела существуют и конечны. Если хотя бы один из них не существует, то наклонной асимптоты нет.

Замечание 12. Если пределы (7) конечны и k = 0, то график имеет горизонтальную асимптоту y = b при x ® +¥ (или -¥). Поэтому если существует горизонтальная асимптота при x ® +¥ (или -¥), то нет наклонной асимптоты при x ® +¥ (или -¥).

Примеры. Найти асимптоты графика функции
Решение. Точка x = 2 является точкой разрыва функции. Найдем односторонние пределы функции в этой точке
Следовательно, прямая x = 2 является вертикальной асимптотой при у ® +¥ и у ® -¥. Так как
то горизонтальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты по формулам (7).
следовательно, прямая у = х+2 является наклонной асимптотой при x ® ±¥ (рис. 6б).

Найти асимптоты графика функции
Решение. Областью определения функции является множество всех решений неравенства
Найдем односторонние пределы в границах области определения х = -1 и х = 0:
Следовательно, прямая x = -1 является вертикальной асимптотой при у ® -¥, а прямая x = 0 является вертикальной асимптотой при у ® +¥ (рис. 6в). Так как
то прямая у = 1 является горизонтальной асимптотой при x ® ±¥ (рис. 6в). Наклонных асимптот нет.