12. Направление выпуклости функции. Точки перегиба.
Пусть функция y=f(x) имеет конечную или бесконечную производную в каждой точке интервала Х = (а, b). Обозначим Г(Х) дугу графика функции f(x), соответствующую интервалу X.
Определение 5. Если дуга Г(Х) лежит не ниже (не выше) касательной к графику функции y=f(x), проведенной в любой точке MÎГ(Х), то функция или график функции называется выпуклым вниз (соответственно выпуклым вверх) в интервале X (рис. 4а).
Точка на графике функции, в которой существует касательная к графику функции, называется точкой перегиба функции или графика функции, если она является границей дуг графика с разными направлениями выпуклости (рис. 4б, 4в).
В некоторых учебных пособиях выпуклую вверх функцию называют выпуклой, а выпуклую вниз функцию - вогнутой. Мы будем также пользоваться этими терминами, когда это удобно.
Теорема 4 (достаточное условие выпуклости вверх и вниз). Если функция f(x) дифференцируема дважды в интервале X и в ней f ''(x) > 0 (f ''(x) < 0), то f(x) является выпуклой вниз (соответственно выпуклой вверх) в интервале X.
Необходимое условие точки перегиба. Если M0 (x0, f(x0)) - точка перегиба функции f(x), то либо и f ''(x0) = 0, либо f ''(x0) не существует (рис. 4б, 4в). Следовательно, абсциссы точек перегиба нужно искать в тех значениях x, при которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует.
Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция f(x) имеет производную (может быть бесконечную) в точке x0, существует вторая производная в проколотой окрестности точки x0 и либо f ''(x0) = 0, либо f ''(x0) не существует. Тогда если при переходе через x0 f ''(x) меняет знак, то (x0, f(x0)) является точкой перегиба.
Правило нахождения точек перегиба и промежутков выпуклости вверх и вниз.
1) Найти область определения функции f(x).
2) Найти f ''(x) и решить уравнение f ''(x) = 0 и найти точки x из области определения, в которых f ''(x) не существует.
3) Разбить область определения найденными в предыдущем пункте точками на промежутки и в них найти знаки второй производной.
4) Согласно теореме 4 в промежутках, где вторая производная положительна, функция выпукла вниз, а в промежутках, где вторая производная отрицательна, функция выпукла вверх.
5) В соответствии с необходимым условием абсциссы точек перегиба нужно искать среди значений, найденных в пункте 2. Пусть x0 - такое значение. Если производная в точке x0 (конечная или бесконечная) существует и в интервалах непосредственно слева и справа от x0 вторая производная имеет разные знаки, то x0 - абсцисса точки перегиба.
Пример. Исследовать функцию
на выпуклость, вогнутость, найти точки
перегиба.Решение. 1) Функция определена при всех действительных значениях x, таких, что x2-4 ≠ 0, т.е. x ≠ ±2.
2) Найдем вторую производную.
y''=0 при x = 0. y'' не существует при x = ±2, но они не входят в область определения функции, поэтому они не могут быть абсциссами точек перегиба.
3) Разобьем область определения точкой x = 0 на интервалы (- ¥, -2), (-2, 0), (0, 2), (2, +¥), в каждом из которых вторая производная сохраняет знак. Определим знак второй производной в каждом из этих интервалов. В точке x=-3 из интервала (- ¥, -2) y''< 0, следовательно, y''< 0 во всем интервале (- ¥, -2). Аналогично определяем, что y'' > 0 в интервалах (-2, 0) и (2, +¥), y'' < 0 в интервале (0, 2) (рис. 5а).
4) Функция выпукла вверх в интервалах (- ¥, -2), (0, 2), выпукла вниз в интервалах (-2, 0), (2, +¥).
5) В интервалах (-2, 0), (0, 2) y'' имеет разные знаки. Значит, (0, 0) является точкой перегиба функции.
На рисунке 5б приведен схематически график функции.