8. Производные высших порядков.
Пусть функция y = f(x) имеет производную f'(x) в каждой точке x некоторого множества D. Тогда ее производную f'(x) можно рассматривать как функцию, определенную на множестве D. В свою очередь функция f'(x) может в некоторых точках множества D иметь производную. В этом случае производной второго порядка (второй производной) называется производная от производной (f'(x))'. Для второй производной функции y = f (x) в точке x применяются обозначения:
Аналогично определяются производные 3-го, 4-го, и т.д. порядков. Производной первого порядка (или первой производной) считается f '(x).
Пример. y = sin 3x. Найти производные 1-го, 2-го, 3-го порядков и y(3)(p).
Решение. y' = 3 cos 3x, y'' = - 9sin 3x, y(3) = - 27 cos 3x, y(3)(p) = - 27 cos 3p = 27.