Производная функции

1. Производная функции.

Пусть функция y = f(x) определена в окрестности точки x0, Dx = x - x0 - приращение аргумента x,

- приращение функции.

Определение 1. Производной функции f(x) в точке x0 называется конечный предел

если он существует.
Производная функции f(x) в точке x0 обозначается f'(x0) или

Через y' или обозначают производную функции y = f(x) в точке x.

Замечание 1. Пусть предел в определении 1 равен +¥ (или -¥). В этом случае говорят, что производная f'(x0) = +¥ (или -¥).

Определение 2. Если для любого достаточно малого Dx выполняется равенство
где A - постоянная, a - бесконечно малая функция при Dx®0, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x0. Величина A·Dx называется дифферециалом функции f(x) в точке x0 и обозначается символом df(x0). Дифферециал функции y = f(x) в точке x обозначается символом dy.

Теорема 1. Функция y = f(x) имеет в точке x (конечную) производную в том и только в том случае, если она дифференцируема в этой точке. При этом верно равенство
В силу этой теоремы выражения "функция дифференцируема" и "функция имеет производную" означают одно и то же.